[2015년 대진고]

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[2학년 2학기 기말 미적분2]

함수 [eqn: f(x)= {x-1} over {x ^{2} +3}]에 대하여 부등식 [eqn: f` prime (x)>0]을 만족시키는 [eqn: x]의 값의 범위를 [eqn: a<x<b]라 할 때, [eqn: a+b]의 값은? [4.2점]

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f(x)=(lnx) ^{2}]에 대하여 [eqn: lim _{x -> 1} {{f `prime (x)} over {x-1}}]의 값은? [4.2점]

⑤

① [eqn: 0]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {3} over {2}]	⑤ [eqn: 2]

[eqn: f(x)=2x-k sinx]가 극값을 갖기 위한 [eqn: k]값의 범위는? [4.2점]

②

① [eqn: -2<k<2]	② [eqn: k< -2] 또는 [eqn: k>2]
③ [eqn: -2 LEQk LEQ2]	④ [eqn: k=2]
⑤ [eqn: k` LEQ -2] 또는 [eqn: k` GEQ 2]

보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4.2점]

③

ㄱ. [eqn: int _{0} ^{pi } {sin ^{2} xdx= {pi } over {2}}]이다.

ㄴ. [eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {sin ^{2} x`cosxdx= {1} over {3}}]이다.

ㄷ. [eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {e ^{x} `sinx`dx=2(e ^{{pi } over {2}} +1)}]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 방정식 [eqn: lnx=kx]와 [eqn: e ^{x} =kx]가 모두 실근을 갖지 않도록 하는 실수 [eqn: k]값의 범위는? (단, 무리수 [eqn: e=2.718281 CDOTS]이다.) [4.3점]

①

① [eqn: {1} over {e} <k<e]	② [eqn: 0LEQk<e]
③ [eqn: k> {1} over {e}]	④ [eqn: k` LEQ {1} over {e}] 또는 [eqn: k GEQ e]
⑤ [eqn: {1} over {e} LEQ k` LEQ e]

곡선 [eqn: y=lnx] 위의 점 [eqn: (e,```1)]에서의 접선과 이 곡선 및 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형의 넓이가 [eqn: {e} over {a} +b]일 때, [eqn: a+b]의 값은? [4.3점]

①

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: lim _{n -> INF } {{pi ^{2}} over {n ^{2}} LEFT ( sin {pi } over {n} +2`sin {2 pi } over {n} +3sin {3 pi } over {n} ``+ CDOTS +n`sin {n` pi } over {n} RIGHT )}]의 값은? [4.3점]

③

① [eqn: -2 pi]	② [eqn: - pi]	③ [eqn: pi]
④ [eqn: 2 pi]	⑤ [eqn: 3 pi]

좌표평면위의 곡선 [eqn: y=cos ^{n} x``` LEFT ( 0<x< {pi } over {2} ,```n=2,```3,```4,```5,``` CDOTS RIGHT )]의 변곡점의 [eqn: y]좌표를 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n}}]의 값은? [4.4점]

③

① [eqn: {1} over {e ^{2}}]	② [eqn: {1} over {e }]	③ [eqn: {1} over {sqrt {e}}]

④ [eqn: {1} over {2e}]	⑤ [eqn: {1} over {sqrt {2e}}]

함수 [eqn: f(x)= {x} over {x ^{2} +1}]에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4.4점]

③

ㄱ. 함수 [eqn: f(x)]는 기함수이다.

ㄴ. [eqn: - {1} over {2} <k< {1} over {2}]일 때, 방정식 [eqn: f(x)=k]의 해가

[eqn: 2]개이다.

ㄷ. 점 [eqn: LEFT ( - sqrt {3} ,``- {sqrt {3}} over {4} RIGHT )]에서 변곡점을 갖는다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

닫힌구간 [eqn: LEFT [ 0,``` {pi } over {2} RIGHT ]]에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족할 때, [eqn: f LEFT ( {pi } over {4} RIGHT )]의 값은? [4.4점]

②

(가) [eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {f(t)dt=1}]

(나) [eqn: cosx int _{0} ^{x} {f(t)dt=sinx int _{x} ^{{pi } over {2}} {f(t)dt``}}]

(단, [eqn: 0 LEQ x LEQ {pi } over {2}])

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {sqrt {2}} over {2}]
④ [eqn: {sqrt {3}} over {2}]	⑤ [eqn: 2]

아래 그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: 3]이고 높이가 [eqn: 6]인 원기둥이 있다. 원기둥을 밑면의 중심을 지나고 밑면과 [eqn: 60 DEG]의 각을 이루는 평면으로 자를 때 생기는 두 입체도형 중에서 작은 것의 부피는? [4.4점]

⑤

① [eqn: {2 sqrt {3}} over {3}]	② [eqn: {16 sqrt {3}} over {3}]	③ [eqn: 6sqrt { 3}]

④ [eqn: 9sqrt { 3}]	⑤ [eqn: 18 sqrt { 3}]

실수 전체의 집합에서 증가하며 미분 가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (4,```1)]에서의 접선의 기울기가 [eqn: {3} over {2}]이다. [eqn: f(2x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라고 할 때, 곡선 [eqn: y=g(x)] 위의 점 [eqn: (1,```a)]에서의 접선의 기울기는 [eqn: b]이다. [eqn: a+b]의 값은? [4.5점]

⑤

① [eqn: - {1} over {3}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {7} over {3}]

임의의 실수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: 0 LEQ x LEQ 2 pi]에서 방정식
[eqn: ln(2sinx+4)=k]
의 서로 다른 실근의 개수를 [eqn: f(k)]라 하자. 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=ax+b]가 서로 다른 네 점에서 만날 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a ^{b}]의 값은? [4.5점]

①

① [eqn: {ln2} over {2}]	② [eqn: ln2]	③ [eqn: 2`ln2]

④ [eqn: {1} over {ln2}]	⑤ [eqn: {2} over {ln2}]

함수 [eqn: f(x)= {lnx ^{2}} over {x}]의 극댓값을 [eqn: alpha]라 하고 함수 [eqn: f(x)]와 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: f(x)- {alpha } over {n} x=0]의 서로 다른 실근의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{20} a _{n}]의 값은? [4.5점]

③

① [eqn: 70]	② [eqn: 72]	③ [eqn: 74]
④ [eqn: 76]	⑤ [eqn: 78]

곡선 [eqn: y= {e ^{x}} over {sqrt {e ^{x} +1}}]과 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=ln3], [eqn: x=ln8]로 둘러싸인 도형의 넓이를 직선 [eqn: y= {1} over {lna}]이 이등분할 때, 양수 [eqn: a]의 값은? [4.6점]

④

① [eqn: {2} over {3}]	② [eqn: {4} over {3}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: {8} over {3}]	⑤ [eqn: {10} over {3}]

함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 모두 만족시킨다.

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 두 점 [eqn: (0,```0)], [eqn: (6,```0)]에서의 접선을 각각 [eqn: l], [eqn: m]이라 할 때, [eqn: y=f(x)]와 두 직선 [eqn: l], [eqn: m]으로 둘러싸인 도형의 넓이가 [eqn: a- {b} over {e ^{c}}]라 할 때, [eqn: a+b+c]의 값은? [4.6점]

(가) [eqn: x` LEQ 3]일 때, [eqn: f(x)=1-e^-x]

(나) 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: int _{0} ^{x} {f(t)dt+ int _{0} ^{6-x} {f(t)dt}}]
의 값은 항상 일정하다.

④

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

서술형

함수 [eqn: f(x)=ax ^{2} +bx+lnx]는 [eqn: x=1]에서 극대이고, 곡선
[eqn: y=f(x)]의 변곡점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: 2]일 때, 극솟값을 구하는 과정을 자세히 서술하시오. [10.0점]

[eqn: -3+2ln2]

함수 [eqn: f(x)= {1} over {x ^{2} +1}]의 그래프를 그리고, 극값, 변곡점을 구하는 과정을 증감표를 이용하여 자세히 서술하시오. (오목과 볼록을 명확히 기재하시오.) [10.0점]

[eqn: x]
[eqn: f` prime (x)]
[eqn: f` prime prime (x)]
[eqn: f(x)]

[eqn: x>0]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]의 한 부정적분 [eqn: F(x)]에 대하여 [eqn: F(x)=xf(x)-x ^{2} sinx], [eqn: F LEFT ( {pi } over {2} RIGHT ) =- {pi } over {2}]가 성립할 때, [eqn: f( pi )]의 값을 구하는 과정을 자세히 서술하시오. [10.0점]

[eqn: 0]

[eqn: f(x)=-cosx+x sinx-1]

[2015년 대진고]

[2학년 2학기 기말 미적분2]

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